Tout à la fois Docteur en Philosophie et en Mathématiques, Gottlob Frege (1848-1925) enseigna cette dernière discipline à Iéna : carrière sans éclat. Mais oeuvre où s’inaugure toute la logique moderne, avec la reconquête des mathématiques par la logique, et la transformation radicale de la logique même à cette fin.
Ouvrage capital aujourd’hui encore, Les Fondements de l’arithmétique, de 1884, donnent la première définition loique du nombre cardinal ; ils élaborent, pour ce faire, une théorie extensionnelle du concept : aussi comportent-ils, au plan philosophique, une critique minutieuse de l’empirisme, de l’abstraction au sens classique et du criticisme kantien : ils s’articulent, du même coup, à une théorie générale des fonctions qui constitute un progrès analogue celui qu’accomplissait, au plan mathématique, Dedekind à la même époque, sous le titre de théorie des applications, et qui ébauchait la substance d’une théorie « naïve » des ensembles.
Dès 1879, dans la Begriffsschrift, Frege avait mené à bien le projet leibnizien, toujours resté suspendu, d’une « langue caractéristique ». En 1893 et 1903, les Lois fondamentales de l’arithmétiques reprendront l’idéographie, comme « langue de la raison pure », pour aborder l’arithmétique des cardinaux finis et infinis et des nombres réels. Ce sera un échec. Et c‘est à une troisième analyse de la langue logique, mais sans plus poursuivre, cette fois, l’étude de l’arithmétique, que Frege consacrera ses dernières années. Il faut le noter pour comprendre comment ce problème de la langue logique est, chez Frege, et jusque dans les Fondements, toujours centrale.
Russel reconnut, le premier, le génie logique de Frege, Wittgenstein fut son lecteur le plus perspicace, Carnap son élève, Hilbert et Husserl ses correspondants.
Claude Imbert enseigne la philosophie à l’Ecole normale supérieure.
Note liminaire,
Introduction,
Appendice 1
Appendice 2,
Les fondements de l'arithmétique ...p105
Recherche logico-mathématique sur le concept de nombre.
Liste des ouvrages cités ou utilisés...p231
L’ouvrage compte cinq chapitres principaux. Il est publié en 1884. Son titre original est Grundlage der Arithmetik. Il suit l’Idéographie (1879) et précède la parution des Lois fondamentales de l’arithmétique, publiées en deux volumes (1893-1903). Frege avait prévu de publier un volume III, voire un volume IV, mais il renonce car il reçoit une lettre de Russel qui lui indique que le projet proposé dans les fondements de l’arithmétique est contradictoire.
La question de Frege dans cet ouvrage est : « Qu’est-ce qu’un nombre ? ». Il a une dimension philosophique et se lit sans avoir besoin de recourir à des connaissances techniques.
CF. GEORGE BOOLOS, GOTTLOB FREGE AND THE FOUNDATIONS OF ARITHMETIC (DEBUT 90’), IN LOGIC, LOGIC AND LOGIC : Grispin Wright a lancé les bases d’un débat sur le système arithmétique de Frege, débat qu’il engage notamment avec Boolos. L’idée de Frege, dans son ouvrage, est de montrer que les vérités logiques sont entièrement déductives.
Cela implique pour Frege de prendre le contrepied de deux traditions :
- celle des empiristes, représentée par Mill
- celle de la théorie transcendantale de Kant, défendant la conception des nombres comme intuition a priori du temps